Taux de croissance

Les séries temporelles ont la particularité de croître à un taux plus ou moins stable dans le temps.

Cela implique une croissance exponentielle

Exemple: imaginons une variable \(x\) qui croît à un taux constant de 3% par an. A \(t = 0\), \(x =2\). A \(t=1\), x augmente de \(2*1.03\) (0.03 étant le taux de croissance auquel on additionne 1):

\(x_{t=1} = 2*1.03\)

Pour \(t=2\), \(x_{t=2} = 2*1.03*1.03 = 2*(1.03)^2\)

Pour \(t=3\), \(x_{t=3} = 2*1.03*1.03*1.03 = 2*(1.03)^3\)

Ainsi de suite, pour la formule générale:

\(x_t = 2*(1.03)^t\). Il s’agit de la formule de croissance exponentielle: \(x_t = x_0 (1+g)^t\), avec \(x_0\) la valeur initiale, \(g\) le taux de croissance et \(t\) le nombre de périodes.

Taux de croissance

À partir de la formule pour la croissance exponentielle de X

\[x_t = x_0(1+g)^t\]

on peut trouver le taux de croissance:

\[g = \left(\frac{x_t}{x_0}\right)^{1/t}-1\]

Il s’agit du taux de croissance moyen composé de la série entre \(x_t\) (en dernière période) et \(x_t\)

Lorsque l’on calcule le taux de croissance entre deux périodes seulement (disons \(x_0\) et \(x_1\)), on retrouve la formule habituelle du taux de croissance (car \(t=1\)):

\[ g = \frac{x_1 - x_0}{x_0} = \left(\frac{x_1}{x_0}\right)^{1/1}-1 \]

Transformation en logarithme

plot(x, type = "l")

plot(log(x), type = "l")

Transformation en logarithme

Si \(x_t = x_0(1+g)^t\) est transformé en log et que nous isolons g, nous trouvons:

\[ log(1+g) = \frac{log(x_t)-log(x_0)}{t} \] Entre seulement deux période (par exemple d’une année à l’autre), \(t = 1\) et donc le taux de croissance peut être approximé facilement en prenant la différence en log. Quand \(g\) est entre -0.15 et 0.15, \(log(1+g)\) est une bonne approximation de \(g\).

Dans R:

library(tidyverse) # la fonction lag() doit être importée avec le package tidyverse

g = log(x) - lag(log(x)) # lag() prend la valeur de x à t-1

# Ou bien avec diff() (difference):
g = diff(log(x))

Exemple: fonction de consommation

L’une des fonctions les plus connues et estimées en macroéconomie est la fonction de consommation des ménages \(C\):

\[ C = c_0 + c_1W \]

Avec \(C\) le niveau de consommation des ménages (dans la monnaie du pays considéré), \(c_0\) le niveau de consommation lorsque les salaires \(W\) = 0. \(c_1\) est la propension marginale à consommer, qui est une composante clé du multiplicateur keynésien.

Régression linéaire simple

Cette fonction de consommation peut être estimée au moyen d’un modèle de régression linéaire simple. - “Simple”, car nous avons uniquement une variable explicative (les salaire \(W\)). - “linéaire”, car notre variable dépendante est numérique (la consommation \(C\)).

La régression linéaire simple prend la forme suivante:

\[ E[Y|X] = \beta_0 + \beta_1X_i + e_i \]

Avec \(E[Y|X]\) “l’espérance” (la moyenne) de Y, notre variable dépendante, en fonction des valeur de notre variable explicative \(X\). \(\beta_0\) l’ordonnée à l’origine et \(e_i\) le terme d’erreur. \(E[Y|X]\) est souvent écrit \(Y\) par simplicité.

==> Les régressions peuvent paraître compliquées à première vue ==> Une manière simple de “démistifer” les régression est de comprendre qu’il s’agit simplement de comparaisons de moyennes

\[E[Y|X] = \beta_0 + \beta_1X_i + e_i\]

\(\beta_1\) est le paramètre clé du modèle.

L’interprétation la plus courante de ce paramètre, qui est celle qui vous est enseignée dans vos cours de quanti, est que \(\beta_1\) est l’effet de X sur les valeurs moyennes Y lorsque X augmente de une unité Cela veut dire que \(\beta_1\) est l’effet marginal de x sur y, la valeur obtenue en prenant la dérivée de Y sur X:

\[ \frac{\delta E[Y|X]}{\delta X} = \beta_1 \]

==> Il s’agit de l’interprétation causale du coefficient du réggression (\(\beta_1\))

Interprétation en termes de comparaison

Le coefficient \(\beta_1\) peut être aussi compris comme une différence de moyenne prédite par le modèle entre deux valeurs de X.

• Si \(X\) est une variable qualitative dichotomique (par exemple homme ou femme), elle ne prend que les valeurs 0 (disons homme) et 1 (disons femme) et que nous ignorons le termes d’erreur \(e_i\):

Si \(X = 1\), <=> \(E[Y|X = 1] = \beta_0 + \beta_1\)

Et si \(X = 0\), <=> \(E[Y|X = 0] = \beta_0\)

Et donc \[E[Y|X=1] - E[Y|X=0] = \beta_0 + \beta_1 - \beta_0 = \beta_1\]

\(\beta_1\) est la différence entre la moyenne prédite des femmes et des hommes.

Interprétation en termes de comparaison

Même principe si la variable est numérique/continue

Exemple avec \(X_i\) le revenu de la personne \(i\) et \(Y=C\) la consommation. Prenons \(X_1 = 5000\) et \(X_2 = 5001\). Le coefficient \(\beta1\) est la différence entre \(X_2\) et \(X_1\).

\[E[Y|X_2 = 5001] - E[Y|X_1 = 5000] = \beta_0 + \beta_15001 - \beta_0 - \beta_15000 = \beta_1\]

\(\beta_1\) est donc la différence de consommation moyenne prédite par le modèle entre deux personnes ayant un revenu de 5001 et 5000. En d’autre termes, la différence de moyenne prédite entre deux personnes différant d’une unité.

Valeurs prédites

data = augment(model)

data %>% 
  ggplot(aes(x = W_real, y = C_real, color = "Valeurs réelles observées"))+
  geom_line()+
  geom_line(aes(x = W_real, y = .fitted, color = "Valeurs prédites"))+
  theme_minimal()+
  labs(title = "C = 43 + 0.797W")

\(C = 43 + 0.797W\)

Le plus souvent, régresser tel quel des séries temporelles (en niveau) va produire des modèles qui ne respectent pas l’hypothèse fondamentale d’indépendance des erreurs. Cela est un problème, car implique que notre coefficient de \(\beta_1 = 0.79\) est biaisé.

==> Cela vient du fait qu’il a une dimension temporelle dans nos variables, ces dernières sont aussi une fonction du temps \(t\), qui n’est pas prise en compte dans \(C = c_0 +c_1W + e_i\) (enfait, la dimension temporelle va se voire dans le terme d’erreur \(e_i\))

==> Autrement pour pouvoir modéliser des séries temporelles avec des régressions, il faut que ces séries soient “stationnaires”, c-à-d que leur moyenne doit être stable dans le temps.

Il existe des tests afin de tester la stationnarité (Test de Dickey-Fuller, test de Perron…)

Stationnarité

La plupart du temps, les séries ayant une tendance temporelle (non-stationnaire) doivent être transformées en taux de croissance pour pouvoir être incluses dans une régression.

library(ggcharts)

macroch$year = 1960:2022
data_rates = tibble(year = 1961:2022, rate_c = diff(log(macroch$C_real)), rate_w = diff(log(macroch$W_real)))

plot1 <- 
macroch %>% 
  ggplot(aes(x = year, y = C_real, color = "Consommation (niveau)"))+
  geom_line()+
  geom_line(aes(x = year, y = W_real, color = "Revenu des salariés (niveau)"))+
  theme_minimal()+
  labs(title = "Séries non stationnaires")+
  theme(legend.position = "top")



plot2 <- 
  data_rates %>%
  ggplot(aes(x = year, y = rate_c, color = "Consommation (taux de croissance)"))+
  geom_line()+
  labs(title = "Série stationnaire")+
  theme_minimal()+
  theme(legend.position = "top")

cowplot::plot_grid(plot1, plot2)

Modèle en différences de premier ordre

==> régresser les taux de croissances au lieu des niveaux, pour corriger la non-stationnarité.

Au lieu de \(C = \beta_0 + \beta_1W\), nous avons: \(\%\Delta{C} = \beta_0 + \%\Delta\beta1W\)

\(\beta_1\) devient l’élasticité de la consommation par rapport au revenu: le pourcentage de changement de C quand W augmente de 1 point de pourcentage \(\beta_1 = \frac{\Delta}{}\) .

model3 = lm(data = data_rates,
            rate_c ~ rate_w)

tidy(model3)

# A tibble: 2 × 5
  term        estimate std.error statistic  p.value
  <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
1 (Intercept)  0.00546   0.00191      2.86 5.89e- 3
2 rate_w       0.558     0.0505      11.0  4.36e-16